تاریخ انتشار: 12 مرداد 1401
تاریخ ویرایش: آذر 5, 1402
نویسنده: modir1
No Comments

مدل انتخاب گسسته پروبیت

چکیده: پروبیت یکی دیگر از مدل‌های انتخاب گسسته است. برخلاف مدل لوجیت، پروبیت قادر به در نظرگرفتن همبستگی بین گزینه‌‍ های انتخاب است. در این نوشته تلاش می‌شود مدل انتخاب گسسته پروبیت تشریح گردد.

در مقالات پیشین به مبانی مدل های انتخاب گسسته و مدل های انتخاب گسسته لوجیت پرداخته شد. در این مقاله به سراغ مدل های پروبیت می رویم. در مدل‌‌های پروبیت، تابع چگالی احتمال عبارت خطا به صورت نرمال فرض می‌شود. به عبارت دیگر، تابع مطلوبیت گزینه انتخاب k به صورت

$\displaystyle {{U}_{k}}(a)={{V}_{k}}(\text{a})+{{\varepsilon }_{k}}$

است که در آن متغیر تصادفی خطا به صورت نرمال توزیع شده است. بر این اساس می‌‌توان نتیجه گرفت که اگر K گزینه انتخاب داشته باشیم، متغیرهای تصادفی متناظر با عبارت‌های خطای این K گزینه، تشکیل یک بردار تصادفی می‌دهند که آن بردار تصادفی به صورت یک متغیر نرمال چند متغیره (MVN) با بردار میانگین $\displaystyle {{\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }}_{{\text{1}\times \text{K}}}}$ و ماتریس واریانس- کواریانس $\displaystyle {{\sum }_{{K\times K}}}$ قابل مدل‌سازی است. به عبارتی دقیق‌تر:

$\displaystyle \text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\sim \text{MVN}(\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ ,}\sum \text{)}$

$\displaystyle \text{ }\!\!\mu\!\!\text{ =(}{{\mu }_{1}}\text{,}...{{\mu }_{K}}\text{)}$

$\displaystyle \sum =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _{1}^{2}} & {\sigma _{{12}}^{2}} & \cdots & {\sigma _{{1K}}^{2}} \\ {\sigma _{{21}}^{2}} & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {} & \vdots \\ {\sigma _{{K1}}^{2}} & {} & \cdots & {\sigma _{{KK}}^{2}} \end{array}} \right)$

محاسبه احتمال فوق به صورت تحلیلی برای بیش از دو گزینه انتخاب آسان نیست. در این راستا، عموماً از دو روش 1) روش تقریبی کلارک و 2) شبیه سازی مونت کارلو برای محاسبه این استفاده میشود. با بکارگیری روش کلارک، احتمال انتخاب گزینه k به صورت زیر تعیین می‌شود:

$\displaystyle {{P}_{k}}(\text{a})=\Phi \left( {\frac{{{{V}_{k}}(a)-{{V}_{*}}}}{{\sqrt{{\sigma _{k}^{2}+\sigma _{*}^{2}-2{{\sigma }_{k}}\times {{\sigma }_{*}}\times {{\rho }_{{k,*}}}}}}}} \right)$

$\displaystyle V*=E[\underset{{\forall l\ne k}}{\mathop{{\max }}}\,\{{{U}_{l}}(\text{a})\}]$

$\displaystyle \sigma _{*}^{2}=Var[\underset{{\forall l\ne k}}{\mathop{{\max }}}\,\{{{U}_{l}}(\text{a})\}]$

$\displaystyle {{\rho }_{{k,*}}}=corr[{{U}_{k}}(\text{a}),\underset{{\forall l\ne k}}{\mathop{{\max }}}\,\{{{U}_{l}}(\text{a})\}]$

در رابطه فوق، $\displaystyle E[.]$ امید ریاضی؛ $\displaystyle Var[.]$ واریانس؛ $\displaystyle Corr[.,.]$ کواریانس بین متغیرهای تصادفی و در نهایت، $\displaystyle \Phi (.)$ ، بیانگر توزیع تجمعی نرمال استاندارد است.

همچنین می‌توان از شبیه سازی مونت کارلو نیز برای محاسبه احتمال انتخاب گزینه $\displaystyle k$ استفاده کرد. در هر تکرار این روش (برای مثال تکرار n ام)، ابتدا، برداری K تایی از اعداد تصادفی از تابع چگالی احتمال متغیرهای خطا متناظر با گزینه‌های انتخاب، $\displaystyle (\varepsilon _{1}^{n},...,\varepsilon _{K}^{n})$ ، استخراج می‌شود. در مرحله بعد، مقدار تابع مطلوبیت هر گزینه انتخاب در تکرار n ام، به صورت زیر محاسبه می‌شود: