تاریخ انتشار: 06 مرداد 1401
تاریخ ویرایش: آذر 5, 1402
نویسنده: modir1
No Comments

مدل انتخاب گسسته لوجیت

چکیده: لوجیت یک از پرکاربردترین مدل‌های انتخاب گسسته است. هدف از این پست، تشریح این مدل، نحوه پرداخت مدل و در نهایت بررسی یک مثال برای درک بهتر مدل لوجیت است.

پیشتر در این مقاله به مبانی مدل های انتخاب گسسته پرداخته شد. مدل چند جمله‌‌ای لوجیت یکی از پرکاربردترین مدل‌های انتخاب گسسته است که در برنامه‌ریزی حمل‌ونقل نیز بسیار استفاده می‌شود. مدل‌سازی انتخاب مد و مسیر از جمله کاربردهای مدل‌های لوجیت در برنامه‌ریزی شهری و تحلیل تقاضا است. در این مدل‌ها فرض می‌شود که تابع چگالی احتمال عبارت خطا به صورت گامبل توزیع شده است. این توزیع دارای ویژگی‌های خاصی است که باعث می‌شود برآورد پارامترهای مدل لوجیت با استفاده از روش های معمول تحلیلی امکان پذیر باشد.

فرض شود که توزیع متغیر تصادفی خطا، $\displaystyle \varepsilon$ ، گامبل باشد. در اینصورت، تابع چگالی احتمال $\displaystyle f(\varepsilon )$ و تابع توزیع تجمعی احتمال $\displaystyle F(\varepsilon )$ به صورت زیر تبیین میشوند:

$\displaystyle f(\varepsilon )=\mu {{e}^{{-\mu (\varepsilon -\mu )}}}\exp (-{{e}^{{-\mu (\varepsilon -\mu )}}})$

$\displaystyle F(\varepsilon )=\exp \left( {-{{e}^{{-\mu (\varepsilon -\eta )}}}} \right)\quad \quad \mu >0$

که $\displaystyle \mu$ و $\displaystyle \eta$ پارامترهای تابع توزیع گامبل هستند. برخی از ویژگی های اصلی تابع توزیع گامبل به صورت زیر است:
ویژگی 1: $\displaystyle \eta +\gamma /\mu$ ، میانگین متغیر تصادفی $\displaystyle \varepsilon$ و $\displaystyle \gamma$ ثابت اویلر است.
ویژگی 2: $\displaystyle {{\pi }^{2}}/6{{\mu }^{2}}$ واریانس متغیر تصادفی $\displaystyle \varepsilon$ است.
ویژگی 3: اگر توزیع متغیر تصادفی $\displaystyle \varepsilon$ گامبل با پارامترهای $\displaystyle (\eta ,\mu )$ باشد و همچنین $\displaystyle v$ و $\displaystyle \alpha >0$ مقادیر ثابتی باشند آنگاه توزیع متغیر تصادفی $\displaystyle \alpha \varepsilon +v$ هم گامبل با پارامترهای $\displaystyle (\alpha \eta +v,\mu /\alpha )$ است .
ویژگی 4: اگر $\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}$ و $\displaystyle {{\varepsilon }_{2}}$ متغیرهای تصادفی با تابع توزیع گامبل و به ترتیب با پارامترهای $\displaystyle ({{\eta }_{1}},\mu )$ و $\displaystyle ({{\eta }_{2}},\mu )$ باشند آنگاه توزیع متغیر تصادفی $\displaystyle {{\varepsilon }^{*}}={{\varepsilon }_{1}}-{{\varepsilon }_{2}}$ ، لجستیک است به طوری که:

$\displaystyle F({{\varepsilon }^{*}})=\frac{1}{{1+{{e}^{{\mu ({{\eta }_{2}}-{{\eta }_{1}}-{{\varepsilon }^{*}})}}}}}$

ویژگی 5: اگر متغیرهای مستقل تصادفی $\displaystyle ({{\varepsilon }_{1}},...{{\varepsilon }_{J}})$ دارای توزیع گامبل با پارامترهای $\displaystyle [({{\eta }_{1}},\mu ),...,({{\eta }_{J}},\mu )]$ باشند آنگاه توزیع ماکزیمم آن متغیرها هم گامبل است که پارامترهای آن به صورت است.

$\displaystyle \left( {\frac{1}{\mu }\ln \sum\limits_{{j=1}}^{J}{{{{e}^{{\mu {{\eta }_{j}}}}}}},\mu } \right)$

حال با توجه به ویژگیهای تابع چگالی احتمال گامبل، برای محاسبه احتمال انتخاب گزینه $\displaystyle k$ با فرض $\displaystyle \eta =0$ می‌توان نوشت:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{P}_{k}}(\text{a})=\Pr [{{U}_{k}}(\text{a})\ge {{U}_{l}}(\text{a}),\forall l\in K]\\{{P}_{k}}(\text{a})=\Pr [{{V}_{k}}(\text{a})+{{\varepsilon }_{k}}\ge {{V}_{l}}(\text{a})+{{\varepsilon }_{l}},l=1,...,K,l\ne k]\\{{P}_{k}}(\text{a})=\Pr [{{V}_{k}}(\text{a})+{{\varepsilon }_{k}}\ge \max \left( {{{V}_{l}}(\text{a})+{{\varepsilon }_{l}}} \right)]\end{array}$

متغیر تصادفی $\displaystyle {{U}^{*}}=\max ({{V}_{l}}(a)+{{\varepsilon }_{l}})$ ، طبق ویژگی 5 دارای توزیع گامبل با پارامترهای زیر است:

$\displaystyle (\frac{1}{\mu }\ln \sum\limits_{{l,l\ne k}}^{{}}{{{{e}^{{\mu {{V}_{l}}(\text{a})}}}}},\mu )$

لذا، بر اساس ویژگی 3 می‌توان نوشت:

$\displaystyle {{U}^{*}}={{V}^{*}}+{{\varepsilon }^{*}}=\frac{1}{\mu }\ln \sum\limits_{{l,l\ne k}}^{{}}{{{{e}^{{\mu {{V}_{l}}(\text{a})}}}}}+{{\varepsilon }^{*}}$

در رابطه فوق $\displaystyle {{\varepsilon }^{*}}$ یک متغیر تصادفی با توزیع گامبل است که پارامترهای آن $\displaystyle (0,\mu )$ هستند. بنابراین، احتمال انتخاب گزینه $\displaystyle k$ برابر است با:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{P}_{k}}(a)=\Pr [{{V}_{k}}(a)+{{\varepsilon }_{k}}\ge {{V}^{*}}+{{\varepsilon }^{*}}]\\{{P}_{k}}(a)=\Pr [({{V}^{*}}+{{\varepsilon }^{*}})-({{V}_{k}}(a)+{{\varepsilon }_{k}})\le 0]\end{array}$

در نهایت، طبق چهارمین ویژگی تابع توزیع گامبل می توان نوشت:

$\displaystyle {{P}_{k}}(\text{a})=\frac{1}{{1+{{e}^{{\mu ({{V}^{*}}-{{V}_{k}})}}}}}=\frac{{{{e}^{{\mu {{V}_{k}}}}}}}{{{{e}^{{\mu {{V}_{k}}}}}+\exp (ln\sum\limits_{{l,l\ne k}}^{{}}{{{{e}^{{\mu {{V}_{l}}}}}}})}}=\frac{{{{e}^{{\mu {{V}_{k}}}}}}}{{\sum\limits_{{l=1}}^{K}{{{{e}^{{\mu {{V}_{l}}}}}}}}}$

در عمل، مقدار پارامتر $\displaystyle \mu$ برابر با 1 درنظر گرفته می‌شود. لذا، رابطه فوق را به صورت زیر می‌توان نوشت:

$\displaystyle {{P}_{k}}=\frac{{{{e}^{{{{V}_{k}}}}}}}{{\sum\limits_{{l=1}}^{K}{{{{e}^{{{{V}_{l}}}}}}}}}$

رابطه فوق، رابطه معروف لوجیت است. لازم به ذکر است در رابطه فوق، پارامترهای تابع مطلوبیت هر گزینه، بر اساس مشاهدات به روش بیشینه درستنمایی پرداخت می‌شوند. در ادامه، برای درک بهتر مدل به یک مثال پرداخته می شود.

فرض شود که در شهری دو شیوه سفر اتوبوس و خودروی سواری وجود دارد. تابع مطلوبیت این دو شیوه به صورت زیر است:

${{V}_{{car}}}=0.05-0.03{{t}_{{car}}}-0.022{{c}_{{car}}}$

${{V}_{{bus}}}=-0.03{{t}_{{bus}}}-0.022{{c}_{{bus}}}$

در رابطه فوق منظور از t زمان سفر و منظور از c، هزینه سفر است. قصد داریم سهم هر یک از دو شیوه فوق را بین یک مبدا و مقصد محاسبه نماییم. فرض شود زمان سفر بین آن مبدا و مقصد برای اتوبوس برابر با 25 واحد و برای خودروی شخصی برابر با 20 واحد باشد. علاوه براین، هزینه سفر بین این زوج مبدا و مقصد با اتوبوس برابر با 2 واحد و با خودروی شخصی برابر با 3 واحد است. حال بر اساس رابطه لوجیت، سهم اتوبوس به صورت زیر محاسبه می شود:

${{V}_{{car}}}=0.05-0.03\times 20-0.022\times 3=-0.616$

${{V}_{{bus}}}=-0.03\times 25-0.022\times 2=-0.794$

${{P}_{{bus}}}=\frac{{\exp \left( {-0.794} \right)}}{{\exp \left( {-0.616} \right)+\exp \left( {-0.794} \right)}}=0.46$

همچنین سهم خودروی شخصی به صورت زیر قابل محاسبه است:

${{P}_{{car}}}=\frac{{\exp \left( {-0.616} \right)}}{{\exp \left( {-0.616} \right)+\exp \left( {-0.794} \right)}}=0.54$

لازم به ذکر است که چون مجموع سهم‌ها برابر با 1 است، نیازی به محاسبه سهم خودروی شخصی بر اسا مدل لوجیت نیست. در حقیقت، سهم خودروی شخصی به راحتی بر اساس رابطه زیر قابل محاسبه است:

. ${{P}_{{car}}}=1-{{P}_{{bus}}}=1-0.46=0.54$

برای مطالعه در مورد مدل های انتخاب گسسته پروبیت نیز می توانید به این مقاله رجوع کنید.

Vous devez être connecté pour noter

نویسنده:

برچسب ها: logit model, انتخاب مسیر, انتخاب وسیله, مدل انتخاب گسسته, مدل لوجیت

لینک کوتاه:

مدل انتخاب گسسته لوجیت

modir1

پاسخ‌ها