تاریخ انتشار: 31 فروردین 1402
تاریخ ویرایش: آذر 13, 1402
نویسنده: modir1
No Comments

مدل جاذبه

چکیده: مدل جاذبه یکی از پرکاربردترین روش های موجود برای توزیع سفرها در مهندسی حمل و نقل می باشد. در این نوشته با حل یک مثال به بررسی این روش و کالیبره کردن پارامترهای آن می پردازیم.

در فرایند مدل سازی چهار مرحله ای تحلیل تقاضای سفر، پس از برآورد تقاضای سفر آینده که از مدلهای تولید و جذب حاصل شده اند، می بایست سفرهای مبادله شده بین نواحی مختلف یا همان ماتریس سفرها را محاسبه کرد. روش های مختلفی برای توزیع سفر وجود دارد که از میان آنها می توان به مدل های رشد (رشد یکنواخت، رشد تک قیدی، رشد دو قیدی، دیترویت، فراتر) و مدل های جاذبه اشاره کرد. مدل جاذبه به دلیل در نظر گرفتن مشخصات سیستم های حمل و نقلی و ویژگی های کاربری زمین نسبت به سایر روش ها مزیت دارد. از میان مدل های جاذبه هم می توان به مدلهای جاذبه تک قیدی و دو قیدی اشاره کرد.

مدل جاذبه رابطه ماکروسکوپیک بین مکانها را بیان می کند و از قوانین نیوتن الهام گرفته شده است. بر اساس مدل جاذبه تمایل به سفر بین دو ناحیه در صورت وجود فعالیت در هر کدام از آن دو ناحیه افزایش می یابد و با افزایش هزینه سفر که می تواند شامل مسافت، هزینه مالی یا زمان سفر باشد، دچار کاهش می شود.

روابط زیر مدل جاذبه و محدودیت های آن را نشان می دهد.

$\displaystyle {{T}_{{ij}}}={{A}_{i}}{{B}_{j}}{{O}_{i}}{{D}_{j}}f({{c}_{{ij}}})$

$\displaystyle {{A}_{i}}=(\sum\limits_{j}{{{{B}_{j}}{{D}_{j}}f({{c}_{{ij}}}){{)}^{{-1}}}}}$

$\displaystyle {{B}_{j}}=(\sum\limits_{i}{{{{A}_{i}}{{O}_{i}}f({{c}_{{ij}}}){{)}^{{-1}}}}}$

T_ij: سفر از ناحیه i به ناحیه j

O_i: تعداد سفرهای تولید شده توسط ناحیه i

D_j: تعداد سفرهای جذب شده توسط ناحیه j

F(c_ij): تابع عامل بازدارنده سفر

A_i و B_j: پارامترهای تنظیم کننده محدودیت های مدل جاذبه

در این مقاله قصد داریم با ارائه یک مثال به کالیبره کردن مدل جاذبه و توزیع سفر بین نواحی بپردازیم. برای این منظور می توان از روش زیر که به صورت تکراری به اصلاح ضرایب می پردازد، استفاده کرد.

گام اول: یک مقدار اولیه برای تابع F(c_ij) در نظر می گیریم. به طور مثال می توان این مقدار را برابر با یک در نظر گرفت.

گام دوم: مقادیر B_j را برابر با یک قرار می دهیم.

گام سوم. مقادیر A_i را با استفاده از رابطه دوم که در بالا به آن اشاره شد، محاسبه می کنیم.

گام چهارم: مقادیر B_j را با استفاده از رابطه سوم محاسبه می کنیم.

گام پنجم: حال اگر مقادیر A_i و B_j به اندازه کافی به هم نزدیک باشند، به گام بعدی می رویم، در غیر این صورت به گام سوم رفته و محاسبات را تکرار می کنیم.

گام ششم: حال می توانیم مقادیر F(c_ij) را محاسبه کنیم. اگر این مقادیر همگرا شده باشند، فرایند به اتمام رسیده است. در غیر این صورت باید به گام سوم رفت و محاسبات را مجددا تکرار کرد.

حال که با مدل جاذبه و نحوه کالیبره کردن پارامترهای آن آشنا شده ایم به بررسی یک مثال می پردازیم. ماتریس تولید و جذب سفر سه ناحیه در جدول شماره یک آورده شده است. همچنین مقادیر مربوط به تابع هزینه را نیز مطابق با جدول شماره دو در اختیار داریم. فرض بر این است که تابع هزینه نیز به صورت زیر می باشد.

$\displaystyle f({{c}_{{ij}}})=\frac{1}{{{{c}_{{ij}}}^{2}}}$

جدول 1: تولید و جذب سفر نواحی

D	O	نواحی
102	98	1
118	106	2
106	122	3

جدول 2: مقادیر مربوط به تابع هزینه سفر بین نواحی

3	2	1	Cij
1.8	1.2	1	1
1.5	1	1.2	2
1	1.5	1.8	3

در ابتدا باید هزینه سفر را با استفاده از رابطه داده شده برای هر زوج مبدا-مقصد محاسبه کنیم. با جایگذاری مقادیر جدول دو در رابطه داده شده، جدول زیر حاصل می شود.

جدول 3: هزینه سفر بین هر زوج مبدا-مقصد

3	2	1	F(Cij)
0.31	0.69	1	1
0.44	1	0.69	2
1	0.44	0.31	3

بر اساس گام دوم، مقادیر B_j را برابر با عدد یک در نظر می گیریم و مقادیر مربوط به A_i را مطابق با جدول زیر محاسبه می کنیم.

جدول 4: محاسبه مقادیر Ai

Ai	Σ Bj * Dj * F(cij)	Bj * Dj * F(cij)	F(Cij)	Dj	Bj	مقصد	مبدا
0.004624	216.28	102	1	102	1	1	1
0.004624	216.28	81.42	0.69	118	1	2	1
0.004624	216.28	32.86	0.31	106	1	3	1
0.004255	235.02	70.38	0.69	102	1	1	2
0.004255	235.02	118	1	118	1	2	2
0.004255	235.02	46.64	0.44	106	1	3	2
0.005276	189.54	31.62	0.31	102	1	1	3
0.005276	189.54	51.92	0.44	118	1	2	3
0.005276	189.54	106	1	106	1	3	3

در گام بعدی به محاسبه مقادیر B_j برای هر زوج مبدا – مقصد می پردازیم و از مقادیر $\displaystyle {{A}_{i}}$ که در جدول بالا به دست آمد، استفاده می کنیم.

جدول 5: محاسبه مقادیر Bj

Bj	Σ Ai * Oi * F(cij)	Ai * Oi * F(cij)	F(Cij)	Oi	Ai	مبدا	مقصد
1.037451	0.963901	0.453152	1	98	0.004624	1	1
1.037451	0.963901	0.311211	0.69	106	0.004255	2	1
1.037451	0.963901	0.199538	0.31	122	0.005276	3	1
0.955182	1.046921	0.312675	0.69	98	0.004624	1	2
0.955182	1.046921	0.45103	1	106	0.004255	2	2
0.955182	1.046921	0.283216	0.44	122	0.005276	3	2
1.017706	0.982602	0.140477	0.31	98	0.004624	1	3
1.017706	0.982602	0.198453	0.44	106	0.004255	2	3
1.017706	0.982602	0.643672	1	122	0.005276	3	3

اکنون با در اختیار داشتن ضرایب A_i و B_j می توانیم با استفاده از رابطه مدل جاذبه، ماتریس توزیع سفر بین نواحی را محاسبه کنیم. برای نمونه سفرهای داخلی ناحیه 1 و سفرهای انجام شده بین نواحی 3 و 2 به صورت زیر محاسبه می شوند. جدول شماره 6 ماتریس توزیع سفر را برای همه نواحی نشان می دهد.

$\displaystyle {{T}_{{11}}}=0.00462*1.037451*98*102*1=47.95$

$\displaystyle {{T}_{{32}}}=0.005276*0.955182*122*118*0.44=32.24$

جدول 6: توزیع سفر بین نواحی

Oi	oi	3	2	1
98	98.51	15.09	35.47	47.95	1
106	105.61	21.62	50.84	33.14	2
122	122.70	69.44	32.24	21.02	3
		106.15	118.55	102.12	dj
		106	118	102	Dj

در گام آخر، مقادیر F(c_ij) را محاسبه کرده و با مقادیر ابتدایی مقایسه می کنیم. اگر میزان اختلاف مقادیر محاسبه شده با مقادیر اولیه در محدوده سطح خطای در نظر گرفته شده نبود (به طور مثال 5 درصد)، مجددا مراحل طی شده را تکرار می کنیم. همانطور که مشخص است میزان اختلاف در مثال مذکور در محدوده قابل قبولی قرار دارد و نیازی به تکرار مجدد وجود ندارد.

$\displaystyle f({{c}_{{ij}}})=\frac{{{{t}_{{ij}}}}}{{{{A}_{i}}*{{B}_{j}}*{{o}_{i}}*{{d}_{j}}}}$

$\displaystyle f({{c}_{{11}}})=\frac{{47.95}}{{00.4624*1.037451*98.51*102.12}}=0.9936\approx 1$

$\displaystyle f({{c}_{{32}}})=\frac{{32.24}}{{0.005276*0.955182*122.7*118.55}}=0.4398\approx 0.44$

منابع:

de Dios Ortúzar, J., & Willumsen, L. G. (2011). Modelling transport. John wiley & son

آموزش برنامه ریزی حمل و نقل، دکتر نوید خادمی

Vous devez être connecté pour noter

مدل جاذبه

منابع:

modir1

پاسخ‌ها